Паркеты с древних времен привлекают к себе внимание людей. Ими застилали полы, покрывали стены комнат, украшали фасады зданий, использовали в декоративно-прикладном искусстве.

Хотя изучение паркетов не входит в школьную программу по математике, тем не менее эта тема непосредственно связана с такими понятиями, как многоугольник, правильный многоугольник, параллельный перенос, поворот, осевая и центральная симметрии, площадь и др.

Налицо целесообразность ознакомления учащихся с основными видами паркетов. Однако трудность заключается в том, что изображение паркета на доске не всегда получается хорошего качества и красота во многом теряется. Помочь этому может использование компьютерных программ и, в частности, векторного графического редактора «Corel Draw».

Паркетом называется такое заполнение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой этими многоугольниками и любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.

Паркет называется правильным, если он составлен из равных правильных многоугольников. 

Угол a правильного n-угольника вычисляется по формуле:

Если в одной вершине паркета сходятся m правильных n-угольников, то должно выполняться равенство:

Выполнив алгебраические преобразования получим формулу:

С помощью электронной таблицы найдем допустимые (целые) значения m и n.

Рассмотрим примеры существующих правильных паркетов (в таблице выделены красным цветом)

             1) n=6 и m=3 - дает заполнение плоскости правильными треугольниками

             2) n=4 и m=4 - дает заполнение плоскости правильными квадратами

             3) n=3 и m=6 - дает заполнение плоскости правильными шестиугольниками

В остальных случаях значение хотя бы одного из пары является дробным, следовательно:

Других правильных паркетов не существует !

Среди правильных треугольника, квадрата и шестиугольника данного периметра наибольшую площадь имеет шестиугольник. Это обстоятельство приводит в природе к тому, что форму правильных шестиугольников имеют пчелиные соты, поскольку пчелы, строя соты, инстинктивно стараются сделать их возможно более вместительными, израсходовав при этом возможно меньше воска. 

Паркет называется полуправильным, если он составлен из правильных многоугольников с различным числом сторон, но так, чтобы вокруг каждой вершины правильные многоугольники были расположены одним и тем же способом.

Найдем все возможные полуправильные паркеты. Для этого обозначим через a₁, a₂, ... — углы правильных многоугольников, имеющих общую вершину. Расположим их в порядке возрастания a₁ £ a₂ £ ... . Учитывая, что сумма всех таких углов должна быть равна 360°, составим таблицу, содержащую возможные наборы углов, и укажем соответствующие паркеты. 

Таким образом, кроме трех правильных паркетов имеется 8 типов полуправильных: 

              №1:                                №2:                                      №3:                              №4:  

            №5:                                №6:                                      №7:                              №8:  

Выясним теперь вопрос о том, можно ли заполнить плоскость неправильными равными многоугольниками. 

Теорема. Для любого четырехугольника существует паркет, состоящий из четырехугольников, равных исходному. Иначе говоря, четырехугольником произвольной формы можно заполнить всю плоскость. 

Доказательство. Пусть дан четырехугольник ABCD . Рассмотрим центрально-симметричный ему четырехугольник относительно середины стороны АВ. Исходный четырехугольник ABCD обозначим цифрой 1, а симметричный — цифрой 2. Теперь четырехугольник 2 отразим симметрично относительно середины его стороны ВС. Полученный четырехугольник обозначим цифрой 3 и отразим его симметрично относительно середины его стороны CD. Полученный четырехугольник обозначим цифрой 4. Четырехугольники 1, 2, 3 и 4 примыкают к общей вершине углами А, В, С и D. А так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то эти четырехугольники заполнят часть плоскости вокруг общей вершины. Такое же построение можно провести вокруг каждой новой вершины, что и даст искомое заполнение плоскости.

Отметим, что четырехугольник ABCD может быть и невыпуклым. Ниже приведен пример такого паркета.